Lic. Elsie Hernández S.

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Teoremas sobre derivadas

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

 

  Teorema
  La derivada de una función constante es cero.
Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

  1. Si $f(x)= 8$ entonces $f'(x)=0$

  2. Si $f(x)= 5\sqrt{2}$ entonces $f'(x)=0$

  3. Si $f(x)= \frac{4}{5+\sqrt{2}}$ entonces $f'(x)=0$

 

  Teorema
  Si $f(x)= x$ entonces $f$ es derivable sobre $I\!\!R$ y $D_{x}f(x)\;= D_{x}x\;=1$
Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

  1. $D_{y}y\;=1$

  2. $D_{n}n\;=1$

  3. $D_{t}t\;=1$

 

  Teorema
 

Si $f(x)= x^n$ con $n \in Q$ y $x$ pertenece al conjunto A en el que $x^n$ está bien definida, entonces $f$ es derivable en $A$ y $D_{x}x^{n}\;= \; n\;x^{n-1}$

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

  1. Si $f(x)= x^{2}$ entonces $f'(x)=2x^{2-1}= 2x^{1}=2x$

  2. Si $f(x)= x^{5}$ entonces

  3. $D_{x}(x^{-3})= -3x^{-3-1}= -3x^{-4}$

  4. $D_{x}(\frac{1}{x^{5}})= D_{x}{x^{-5}}= -5x^{-6}$

  5. $\displaystyle{D_{x}(\sqrt{x})=D_{x}(x^{\frac{1}{2}})= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}= \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

  6. $\displaystyle{D_{x}(x^{\frac{2}{3}})= \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{\frac{-1}{3}}}$

  7.  

  8. $\displaystyle{D_{x}({\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}})=D_{x}(x^{\frac{-3}{4}})= \frac{-3}{4}x^{\frac{-7}{4}}}$

 

  Teorema
  Si la función $f$ es derivable sobre un intervalo $K$ y $c$ es un número real, entonces la función $g$ para la que $g(x)=c\;f(x)$ es derivable sobre $K$, además $D_{x}[c\;f(x)]= c\;D_{x}f(x)$.
Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función.

Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplos:

  1. Si $f(x)= 5x$ entonces $f'(x)=5\; D_{x}x=5\cdot1=5$

  2. Si $f(x)= -2x^{3}$ entonces $f'(x)=-2\;D_{x}x^{3}= -2(3x^{2})=-6x^{2}$

  3. $\displaystyle{D_{x}(\frac{2}{7}\sqrt{x})= \frac{2}{7}\;D_{x}\sqrt{x}=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{2\sqrt {x}}= \frac{1}{7\sqrt{x}}}$

  4. $\displaystyle{D_{x}({\frac{-5}{4}}x^{-3})=\frac{-5}{4}\cdot -3x^{-4}=\frac{15}{4x^{4}}}$

  5. $\displaystyle{D_{z}(2z^{\frac{-3}{7}})= 2(\frac{-3}{7}\cdot z^{\frac{-10}{7}})=\frac{-6}{7}\cdot z^{\frac{-10}{7}}}$

 

  Teorema

Si $f$ y $g$ son dos funciones derivables sobre un intervalo $k$, entonces la función $h\;=f\,+\,g$ es derivable sobre $k$ y además $D_{x}[f(x)\;+\;g(x)]=D_{x}f(x)+D_{x}g(x)$, para $x \in k$.
Prueba: Al final del capítulo.

 

Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.
También:

$D_{x}[f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+...+f_{n}(x)]= D_{x}f_{1}(x)+D_{x}f_{2}(x)+D_{x}f_{3}(x)+...+D_{x}f_{n}(x)$
donde $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ son funciones derivables sobre un intervalo $k$.

Ejemplos:

 

1. $D_{x}[x^{3}+x^{7}]= D_{x}x^{3}+D_{x}x^{7}=3x^{2}+7x^{6}$

 
2.

 
3.

Si $f$ y $g$ son funciones derivables sobre un intervalo $k$ entonces la función $f\;-\;g$ es derivable sobre $k$, y además para cualquier $x \in k$ se tiene que $D_{x}[f(x)\;-\;g(x)]= D_{x}f(x)\;-\;D_{x}g(x)$

Ejemplos:

  1. $D_{x}[5x^{2}-5]= D_{x}5x^{2}-D_{x}5=10x-0=10x$

  2. $\displaystyle{D_{x}[\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\sqrt{x}]= D_{x}[3x^{-1}-2x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}]=-3x^{-2}+4x^{-3}+\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}}$
  Teorema
  Si $f$ y $g$ son funciones derivables sobre un intervalo $k$ entonces la función $H=f\cdot g$ es derivable sobre $k$, y además para cualquier $x \in k$ se tiene que $D_{x}[f(x)\;\cdot \;g(x)]= f(x)D_{x}g(x)\;+ \;g(x)D_{x}f(x)$
Prueba: Al final del capítulo.

Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.

Ejemplos:

 

1.

 
2.

 
3. $\displaystyle{D_{x}[(ax^{3}-bx^{2}+c)(5x^{-3}+kx)]}$, con a, b, c, k constantes.

$=\displaystyle{(ax^{3}-bx^{2}+c)D_{x}(5x^{-3}+kx)+(5x^{-3}+kx)D_{x}(ax^{3}-bx^{2}+c)}$

  $=(ax^{3}-bx^{2}+c)(-15x^{-4}+k)+(5x^{-3}+kx)(3ax^{2}-2bx)$

 
4. $D_{x}[\sqrt[3]{x}(2x^{2}+x)]= \sqrt[3]{x}D_{x}(2x^{2}+x)+ (2x^{2}+x)D_{x}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x}(4x+1)+(2x^{2}+x)\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$



  Teorema

Si $f$ y $g$ son dos funciones derivables y si $g(x)\neq 0$ sobre un intervalo $k$ entonces la función $\displaystyle{h=\frac{f}{g}}$ es derivable sobre $k$, y además para cualquier $x \in k$ y se tiene que $\displaystyle{D_{x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)= \frac{g(x)D_{x}f(x)\;- \;f(x)D_{x}g(x)}{[g(x)]^{2}}}$
Prueba: Al final del capítulo.

Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Ejemplos:

  1. $\displaystyle{D_{x}\left(\frac{5x^{2}-x+1}{x^{3}+4x^{2}}\right)}$

    $\displaystyle{= \frac{(x^{3}+4x^{2})D_{x}(5x^{2}-x+1)- (5x^{2}-x+1)D_{x}(x^{3}+4x^{2})}{[x^{3}+4x^{2}]^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{(x^{3}+4x^{2})(10x-1+0)-(5x^{2}-x+1)(3x^{2}+8x)}{[x^{3}+4x^{2}]^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{10x^{4}-x^{3}+40x^{3}-4x^{2}-15x^{4}-40x^{3}+3x^{3}+8x^{2}-3x^{2}-8x}{[x^{3}+4x^{2}]^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{-5x^{4}+2x^{3}+x^{2}-8x}{[x^{3}+4x^{2}]^{2}}}$ con $x\neq 0, x\neq -4$

  2. $\displaystyle{D_{x}\left(\frac{\sqrt{x}+5}{4x^{2}+2}\right)}$

    $\displaystyle{= \frac{(4x^{2}+2)D_{x}(\sqrt{x}+5)- (\sqrt{x}+5)D_{x}(4x^{2}+2)}{[4x^{2}+2]^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{(4x^{2}+2)(\frac{1}{2\sqrt{x}})-(\sqrt{x}+5)(8x)}{[4x^{2}+2]^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{2x^{2}+1-\sqrt{x} \cdot 8x(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}(4x^{2}+2)^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{2x^{2}+1-8x(x+5\sqrt{x})}{\sqrt{x}(4x^{2}+2)^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{1-6x^{2}-40x\sqrt{x}}{\sqrt{x}(4x^{2}+2)^{2}}}$ con $x>0$

  3. $\displaystyle{D_{x}\left(\frac{2x}{\sqrt[3]{x}-2}\right)=\frac{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot 2-2x\left(\frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}}\right)} {(\sqrt[3]{x}-2)^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{2\sqrt[3]{x}-4-\frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}}{(\sqrt[3]{x}-2)^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{6\sqrt[3]{x}-12-2\sqrt[3]{x}}{3(\sqrt[3]{x}-2)^{2}}}$

    $=\displaystyle{\frac{4\sqrt[3]{x}-12}{3(\sqrt[3]{x}-2)^{2}}}$ con $x\neq 8$

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