Lic. Elsie Hernández S.

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Incrementos

Estudiaremos este punto antes de definir el diferencial y dar su interpretación geométrica.

Al dar la definición de la derivada de una función $f$ como el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$, se utilizó $h$ para señalar un número distinto de cero tal que $x+h$ pertenece al dominio de $f$ .

Gráficamente se tiene la representación de $f$ y la recta tangente:

Puede decirse que $h$ es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la gráfica de $f$. Esta diferencia recibe el nombre de incremento de $x$ y se denota por $\bigtriangleup x$.

Para una función $f$ dada al sustituir $h$ por $\bigtriangleup x$ en la expresión $\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ se obtiene $\displaystyle{\frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}}$ de donde $f'(x)= \displaystyle{\lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{\frac{f(x+ \bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}}}$.

Si $y = f(x)$ entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento $\bigtriangleup x$ de $x$, que se denota por $\bigtriangleup y$, está dado por $f(x+ \bigtriangleup x)-f(x)$.

Así , $\bigtriangleup y$ es el cambio en "y" debido al cambio $\bigtriangleup x$ en $x$.

La razón $\displaystyle{\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}= {\frac{f(x+ \bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}}}$ recibe el nombre de razón promedio de cambio de $f$ o de "y", respecto a $x$, para el intervalo $[x,x+ \bigtriangleup x]$.

La derivada: $\displaystyle{D_{x}y = \lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{\frac{\bigtriangl... ...gleup x \rightarrow{0}}{\frac{f(x+ \bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}}} $ recibe el nombre de razón instantánea de cambio o simplemente razón de cambio de "y" o de $f$ respecto a $x$.

Ejemplos:

  1. Si $y=2x^{2}+1$ hallar $\bigtriangleup y$ en términos de $x$ y $\bigtriangleup x$

    i.
    Determinar $\bigtriangleup y$ para:
    a. $x=1, \; \; \bigtriangleup x=0.1$
    b. $x=10, \; \; \bigtriangleup x=0.01$

    Solución:

    $\bigtriangleup y = f(x+ \bigtriangleup x-f(x))$

    $=2(x+ \bigtriangleup x)^{2}+1-(2x^{2}+1)$

    $=2(x^{2}+2x\bigtriangleup x+(\bigtriangleup x)^{2})+1-2x^{2}-1$

    $=2x^{2}+4x\bigtriangleup x+2(\bigtriangleup x)^{2}-2x^{2}$

    $=(4x+2\bigtriangleup x)\bigtriangleup x$

    a.
    Para $x=1, \; \bigtriangleup x=0,1$ se tiene que:   $y=(4 \cdot 1+ 2 \cdot 0,1)0,1=0,42$

    Puede decirse que existe un incremento de $0,42$ en las ordenadas debido a un incremento de en las abscisas.

    b.
    Para $x=10$ y $x=0,01$ se tiene que:  $y= (4 \cdot 10+ 2\cdot 0,01)0,01 =4,002$

    ii.
    Hallar la razón promedio de cambio de "y" respecto a $x$ para el intervalo $[2, \;2.5]$ y para el intervalo $[2,\;2.01]$

    Solución:

    La razón promedio de cambio de "y" respecto a "x" está dada por:
    $\displaystyle{\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}= {\frac{f(x+ \bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}}}$

    $=\displaystyle{\frac{(4x+2\bigtriangleup x)\bigtriangleup x }{\bigtriangleup x}}$ de donde

    $\displaystyle{\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}= 4x+2\bigtriangleup x}$

    En el intervalo $[2, \;2.5]$ se tiene $\displaystyle{\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}= 8+2(0.5)=9}$ y el intervalo $[2,\;2.01]$ se obtiene $\displaystyle{\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=8+2(0.01)=8.02}$

    iii.
    Hallar la razón de cambio de "y" respecto a "x".
    Determinar el valor de esta rezón en 2 y en 4.

    Solución:

    La razón de cambio de "y" respecto a "x" está dada por:

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{\frac{\bigtriangleup y}{\b... ...ngleup x}}= \lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{4x+2\bigtriangleup x} } = 4x$

    En $2$ esta razón instantánea es $8$ y en $4$ toma el valor de $12$

  2. Demostrar que la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio, es igual al área de la superficie de la esfera.

    Solución:

    El volumen de una esfera de radio $r$ es $\displaystyle{V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}$

    La razón de cambio del volumen con respecto al radio está dado por:

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup r \rightarrow{0}}{\frac{\bigtriangleup V}{\bigtriangleup r}}}$

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup r \rightarrow{0}}{\frac{V(r+\bigtriangleup r)-V(r)}{\bigtriangleup r}}}$

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup r \rightarrow{0}}{\frac{\frac{4}{3}\pi(r+\bigtriangleup r)^{3}-\frac{4}{3}\pi r^{3} }{\bigtriangleup r}}}$

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup r \rightarrow{0}}{\frac{4}{3}\pi \cdot \frac... ...up r+3r(\bigtriangleup r)^{2}+(\bigtriangleup r)^{3}-r^{3}}{\bigtriangleup r}}}$

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup r \rightarrow{0}}{\frac{4}{3}\pi \cdot \frac... ...ngleup r(3r^{2}+3r\bigtriangleup r+(\bigtriangleup r)^{2})}{\bigtriangleup r}}}$

    $\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup r \rightarrow{0}}{\frac{4}{3}\pi \cdot [3r^{2}+3r\bigtriangleup r+(\bigtriangleup r)^{2}]}}$

    $\displaystyle{\frac{4}{3}\pi (3r^{2})= 4\pi r^{2}}$ expresión que corresponde precisamente al área de la superficie de la esfera.

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