Lic. Elsie Hernández S.

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  Teorema

 

 Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones derivables, (y por tanto continuas), en un intervalo $[h,+\infty[$, donde $h$ es una constante positiva. Sea $g'(x)\neq 0\;\;\mbox{para}\;\;x\in [h,+\infty[$.
Si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0,\;\;\mbox{y}\;\;\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{g(x)}=0} $ y si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L}$ entonces $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=L}$
Además, si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=+\infty}$ entonces $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

 

Este teorema nos permite aplicar la regla de L'Hôpital a límites en que se presenta la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$, cuando la variable independiente tiende hacia $+\infty$. También puede aplicarse cuando al tender $x$ a menos infinito se tiene que $f(x)\rightarrow 0,\;\;\mbox{y}\;\;g(x)\rightarrow 0$.

Ejemplos:

Calculemos los siguientes límites utilizando el teorema anterior.

  1. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{sen^{2}\left(\frac{2}{x}\right)}}}$

    Cuando $x\rightarrow +\infty$ se tiene que $\displaystyle{\frac{1}{x^{2}}\rightarrow 0,\;\;\mbox{y}\;\;\frac{2}{x}\rightarrow 0}$ por lo que $\displaystyle{sen^{2}\frac{2}{x}\rightarrow 0}$.

    Se presenta la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ y podemos aplicar el teorema anterior.

    Luego:

    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{sen^{2}\left(\frac{2}{x}\right)}}}$

     

     forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x^{\frac{-1}{2}}}{cos\left(\frac{4}{x}\right)\cdot \frac{-4}{x^{2}}}}}$

    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{4cos\left(\frac{4}{x}\right)}}=\frac{1}{4cos\;0}=\frac{1}{4}}$


  2. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{sen\left(\frac{1}{x}\right)}{arctan\left(\frac{1}{x}\right)}}}$ forma $\displaystyle{\frac{sen\;0}{arctan\;0}=\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{cos\left(\frac{1}{x}\right)\... ...-1}{x^{2}} }{\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}\cdot \frac{-1}{x^{2}} }}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{cos\left(\frac{1}{x}\right)}{1}}\cdot \left[1+(\frac{1}{x})^{2}\right]=1 }$


  3. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}}\cdot -1}}}$ forma $\displaystyle{\frac{0}{e^{0}-1}=\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{x^{\frac{-2}{2}}}{e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{-1}{x^{2}}}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{2}{e^{\frac{1}{x}}}}=\frac{2}{e^{0}}=\frac{2}{1}=2}$

 

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.