Lic. Elsie Hernández S.

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Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma $y = f(x)$ o $f(x,y)=0$, como en las igualdades $y=5x^{2}+3x,\;\;\mbox{o,}\;\;x^{2}+y^{2}=4$, sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones $x=t^{2}-2t,\;\;y=t+1\;\;\mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$.

Se tiene que a cada valor de $t$ le corresponde un punto $(x,y)$ del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

$\begin{tabular}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert ... ... \hline y & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{tabular}$

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones $x=g(t),\;\;y=h(t)\;\;\mbox{con}\;\;h\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones continuas en un intervalo $I,\;\;(I\subseteq I\!\!R)$ reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano $XY$. La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano $XY$, que se obtiene cuando $t$, que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio $I$.

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.

Por ejemplo, sean $\displaystyle{x=\frac{t}{2},\;\;y=\frac{t^{2}}{4}-1}\;\;\mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$.

Obtenemos la siguiente tabla de valores:

 

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir $\displaystyle{x=\frac{t}{2}\;\;\mbox{en}\;\;y=\frac{t^{2}}{4}-1}$ se obtiene que $y=x^{2}-1$ que es la ecuación de la parábola con el eje $Y$ como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.

Sea $Q$ la relación con representación paramétrica $x=2\;sen\;t,\;\;y=2\;cos\;t\;\;\mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$.

Se tiene que $Q=\{(x,y)/\;x=2\;sen\;t,\;\;y=2\;cos\;t,\;\;t\in I\!\!R\}$

Vamos a expresar la relación $Q$ utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:

$x^{2}+y^{2}=(2\;sen\;t)^{2}+(2\;cos\;t)^{2}$

$=4\;sen^{2}t+4\;cos^{2}t$

$=4(sen^{2}t+cos^{2}t)=4$

de donde $x^{2}+y^{2}=4$ es la ecuación de una circunferencia con centro en $(0,0)$ y radio 2. Luego $Q$ no representa una función y su representación gráfica es la siguiente:

$Q$ puede expresarse entonces como:

$Q=\{(x,y)/\; x^{2}+y^{2}=4\;\;x\in[-2,2],\;\;y\in[-2,2]\}$

Sea ahora R la relación con representación paramétrica $\displaystyle{x=2t,\;\;y=\frac{6}{t}}$ con $t\in I\!\!R-\{0\}$.

En este caso $\displaystyle {R=\{(x,y)/ \; x=2t,\;\;y=\frac{6}{t}\;\; t\in I\!\!R,\;\;t\neq 0\}}$

Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja $t$ en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:

Si $x=2t$ entonces $\displaystyle{t=\frac{x}{2},\;\;\mbox{y}\;\;y=\frac{6}{\frac{x}{2}}=\frac{12}{x}}$

Luego la ecuación $\displaystyle{y=\frac{12}{x}}$ para $x\in I\!\!R,\;\;x\neq 0$ tiene como representación gráfica la siguiente:

Por último verifiquemos que $\displaystyle{\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1}$ es una ecuación de la relación determinada por las ecuaciones paramétricas $x=3(1-cos\;\theta)\;\;y=2\;sen\;\theta$, con $\theta \in I\!\!R$.

Como $x=3(1-cos\;\theta)$ entonces $\displaystyle{cos\;\theta=1-\frac{x}{3}}$, y como $y=2\;sen\;\theta$ entonces $\displaystyle{sen\;\theta=\frac{y}{2}}$

Luego $sen^{2}\theta + cos^{2}\theta =\displaystyle{(\frac{y}{2})^{2}+(1-\frac{x}{3})^{2}}$, de donde $1=\displaystyle{\frac{y^{2}}{4}+\frac{(x-3)^{2}}{9}}$, que es la ecuación de una elipse con centro en $(3,0)$

Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.


  Teorema
 

Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones derivables en un intervalo $]t_{1},t_{2}[$. Supongamos que $f$ tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde $f'(t)\neq 0$, las ecuaciones $x=f(t),\;\;y=g(t)$ implican que existe una función derivable $F$ tal que $y = f(x)$, y además $D_{x}y=\displaystyle{\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

  1. Determine $D_{x}y\;\;\mbox{si}\;\;x=e^{t},\;\;y=1+t^{2}\;\; \mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$
    Solución:

    Por el teorema anterior se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$

    Luego:

    $D_{t}y=2t,\;\;D_{t}x=e^{t}\;\;(e^{t}\neq 0\;\;\mbox{para todo}\;\; t\in I\!\!R)$ por lo que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t}{e^{t}}}$

  2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones $\displaystyle{x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1},\;\;y=\frac{t}{t^{2}-1}}$ en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.

    Solución:

    Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por $D_{x}y$.
    Como $D_{t}x=\displaystyle{\frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}},\;\;\mbox{y}\;\;D_{t}y=-\frac{1+t^{2}}{(t^{2}-1)^{2}}}$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{t^{2}+1}{2t}}$

    La pendiente de la recta tangente es cero cuando $D_{x}y=0$, en este caso cuando $t^{2}+1=0$; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de $t$. Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

  3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones $x=Bt,\;\;y=Ct-dt^{2}$ cuando $t = 0$

    Solución:

    La ecuación de la recta tangente está dada por $y=mx+b$, donde $m=D_{x}y$.

    Se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}=\frac{C-2dt}{B}}$

    Cuando $t=0\;\;\mbox{entonces}\;\;D_{x}y=\frac{C}{B}$, por lo que $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x+b\;\;(*)}$

    Cuando $t = 0$ se obtiene $x=0,\;\;y=0$, y al sustituir en $(*)$ se obtiene: $b= 0$.

    Luego, la ecuación de la recta tangente es: $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x}$

Derivadas de orden superior para una función dada en forma paramétrica

Si $x\;\;\mbox{y}\;\;y$ están dadas en forma paramétrica entonces $D_{x}^{2}y$ puede expresarse como sigue:

$D_{x}^{2}y= D_{x}(D_{x}y)=\displaystyle{\frac{D_{t}(D_{x}y)}{D_{t}x}}$

Ejemplo:

Si $x=2t^3+sen\;t,\;\;y=t^{2}-cos\;t$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t+sen\;t}{6t^{2}+cos\;t}}$ y $D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{D_{t}(D_{x}y)}{D_{t}x}=\frac{D_{t}\left(\frac{2t+sen\;t}{6t^{2}+cos\;t}\right)}{D_{t}(2t^{3}+sen\;t)}}$

$=\displaystyle{\frac{(6t^{2}+2)cos\;t+1-12t^{2}-10\;sen\;t}{(6t^{2}+cos\;t)^{2}(6t^{2}+cos\;t)}}$

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

$D_{x}^{n}y=\displaystyle{\frac{D_{t}(D_{x}^{n-1}y)}{D_{t}x}}$

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