Definición recursiva de las sucesiones

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Consideremos ahora el triángulo rectángulo de la figura 3; las medidas de sus lados son:

$\displaystyle QR=s_{n},\qquad QS=a_{n+1}\qquad y\qquad RS=1-c_{n}.\qquad$

Aplicando el teorema de Pitágoras de nuevo se obtiene:

$\displaystyle a_{n+1}^{2}=s_{n}^{2}+\left( 1-c_{n}\right)^{2}=s_{n}^{2}+1-2c_{n}+c_{n}^{2}=2\left( 1-c_{n}\right) .$

Por lo tanto

$\displaystyle a_{n+1}^{2}=2\left( 1-c_{n}\right) ,\qquad s_{n+1}^{2}=\frac{a_{n+1}^{2}}{4}=\dfrac{1-c_{n}}{2}.$

De lo anterior se sigue que:

$\displaystyle c_{n+1}=\sqrt{1-s_{n+1}^{2}}\bigskip =\sqrt{1-\dfrac{1-c_{n}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+c_{n}}{2}}.$

Esto nos da la fórmula de recurrencia para las apotemas de los polígonos de Arquímedes. Se tiene entonces:

$\displaystyle c_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+c_{n}}{2}},\qquad s_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1-c_{n}}{2}}.$

Aunque no se utilizará, esto implica una fórmula de recurrencia para los $s_{n}:$

$\displaystyle s_{n+1}^{2}=\dfrac{1-c_{n}}{2}=\dfrac{1}{2}\left( 1-\sqrt{1-s_{n}^{2}}\right) .$