Definición de y en

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Definición de y en $\mathbb{D}^{+}$

Se definen ahora las funciones y en el conjunto $\mathbb{D}^{+}$ de la siguiente manera. Si $x=\tfrac{k}{2^{n}}\in \mathbb{D}^{+}$ , se define

$\displaystyle C(x):=C_{n}\left( x\right) =C_{n}\left( \tfrac{k}{2^{n}}\right) ,\quad S(x):=S_{n}\left( x\right) =S_{n}\left( \tfrac{k}{2^{n}}\right) .$

El lema anterior demuestra que esta definición no es ambigua, pues si $x=\tfrac{k}{2^{n}}=\tfrac{j}{2^{m}}$ , entonces una de las funciones $C_{n}$ ó $C_{m}$ extiende a la otra, y consecuentemente $C_{n}\left( x\right) =C_{m}\left( x\right)$ . Note que en particular $\ C\left( \frac{1}{2}\right) =0$ , $S\left( \frac{1}{2}\right) =1.\medskip$

Ahora, dados $x,y\in \mathbb{D}^{+}$ , se tiene $x\in \mathbb{D}_{n}$ , $y\in \mathbb{D}_{m}$ , y Se puede suponer que $n\geq m$ . Entonces ambos pertenecen a $\mathbb{D}_{n}$ , y por el teorema 2:

$\displaystyle C^{2}(x)+S^{2}(x)=C_{n}^{2}(x)+S_{n}^{2}(x)=1.$

De manera similar se demuestran las propiedasdes 2 y 3 del teorema 2 para $x,y\in \mathbb{D}^{+}$ . En resumen se tiene:

Teorema 3 Las funciones y que acabamos de definir en $\mathbb{D}^{+}$ satisfacen:

Para cada $x\in \mathbb{D}^{+}$ : $C^{2}(x)+S^{2}(x)=1$
Para $x,y\in \mathbb{D}^{+}$ : $C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y),\quad S(x+y)=S(x)C(y)+S(y)C(x)$ .
Si además $x\geqslant y$ : $C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y),\quad S(x-y)=S(x)C(y)-S(y)C(x)$