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Convergencia de las sucesiones $P_{n}$ y $Q_{n}$

Dado que $\left(A_{n}\right)$ es creciente entonces la sucesión $\left( P_{n}\right)$ también lo es. En efecto,

$$P_{n}=2A_{n+1}>2A_{n}=P_{n-1}.$$

Por otro lado, de (7) se sique que:

$$\frac{Q_{n}}{Q_{n+1}}=\frac{2A_{n+1}/c_{n}}{2A_{n+2}/c_{n+1}}=\fr... ...}}\cdot \frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{c_{n+1}^{2}}{c_{n}}=\frac{1+c_{n}}{2c_{n}}.$$

Como $c_{n}<1$, se tiene $1+c_{n}>2c_{n}$, de donde

$$\frac{Q_{n}}{Q_{n+1}}=\frac{1+c_{n}}{2c_{n}}>1.$$

Esto demuestra que la sucesión $\left( Q_{n}\right)$ es decreciente. $\medskip$

Además, como $c_{n}<1$ se tiene que $Q_{n}=\dfrac{P_{n}}{c_{n}}>P_{n}$, acorde con la intuición (el perímetro del polígono circunscrito es mayor que el del polígono inscrito).

Por lo tanto, las sucesiones $(P_{n})$ y $\left( Q_{n}\right)$ están acotadas, pues para cada $n$ se tiene:

$$P_{1}<P_{n}<Q_{n}<Q_{1}.$$

Por el teorema de Weierstrass, las sucesiones $(P_{n})$ y $\left( Q_{n}\right)$ son convergentes, y como además $Q_{n}=\dfrac{P_{n}}{c_{n}}$ y $c_{n}\rightarrow 1$, se tiene que:

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}Q_{n}.$$ (8)

 

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