Intervalos de monotonía

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Intervalos de monotonía

En general, cuando se quiere extender una función de un conjunto denso a todo $\mathbb{R}$ , es necesario que esta cumplan ciertas propiedades, como que sea continua o monótona. En la presente sección demostraremos que las funciones y son monótonas en $\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , y luego demostraremos que son continuas en el origen. Las propiedades demostradas arriba, nos ayudarán a deducir las correspondientes en el paso al límite. El resultado siguiente es de gran ayuda.

Lema 4 Una función $f:\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ es creciente si y solo si satisface lo siguiente:

$\displaystyle f\left( \tfrac{k}{2^{n}}\right) \leq f\left( \tfrac{k+1}{2^{n}}\right) ,\$ para $\displaystyle x=\tfrac{k}{2^{n}}\in \mathbb{D}\cap \left[ 0,\tfrac{1}{2}\right[ .$

(9)

Además, es estrictamente creciente si y solo si cumple (9), con desigualdad estricta.

Prueba

Es claro que si es creciente en $\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , entonces saisface la propiedad (9). Recíprocamente, si satisface (9), se toman $x,y\in \mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ . Existen tales que $x\in \mathbb{D}_{n}$ y $y\in \mathbb{D}_{m}$ . Se puede asumir que $n\geq m$ , en cuyo caso $\mathbb{D}_{m}\subseteq \mathbb{D}_{n}$ . Se tiene entonces que $x=\frac{j}{2^{n}}$ , $y=\frac{k}{2^{n}}$ . Si $x\leq y$ , entonces se tiene $j\leq k$ , y luego

$\displaystyle f\left( \frac{j}{2^{n}}\right) \leq f\left( \frac{j+1}{2^{n}}\right) \leq ...\leq f\left( \frac{k}{2^{n}}\right) .$

La segunda parte se demuestra de manera casi idéntica, cambiando $\leq$ por . $\Box \medskip$

Ahora recuerde que la sucesión $\left( c_{n}\right)$ es creciente, y que $\left( s_{n}\right)$ es decreciente. Se usará esto, y el lema anterior para demostrar que las funciones y son monótonas en $\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \cap \mathbb{D}$ , la primera decreciente y la segunda creciente. Para eso se demostrará por inducción que para cada $n\in \mathbb{N}$ se tiene:

$\displaystyle C\left( \tfrac{k}{2^{n}}\right) >C\left( \tfrac{k+1}{2^{n}}\right... ...n}}\right) <S\left( \tfrac{k+1}{2^{n}}\right) ,\ \forall k=0,\ldots ,2^{n-1}-1.$

(10)

Para

se debe mostrar que $C\left( 0\right) >C\left( \frac{1}{2}\right)$ y $S(0)<S\left( \frac{1}{2}\right)$ , lo cual es evidente.

Asumiendo que (10) es válida para , se demostrará para . Note que la hipótesis de inducción implica en particular que

$\displaystyle 0=S(0)<S\left( \tfrac{k}{2^{n}}\right) ,\ \ C\left( \tfrac{k}{2^{n}}\right)>C\left( \tfrac{1}{2}\right) =0,$ para $\displaystyle k\in \left\{ 0,\ldots ,2^{n-1}\right\} .$

Sea $k\in \left\{ 0,\ldots ,2^{n}\right\}$ . Si

es impar, se tiene

para algún

, y entonces

$\displaystyle C\left( \tfrac{k}{2^{n+1}}\right) =C\left( \tfrac{2j}{2^{n+1}}\ri... ...C\left( \tfrac{j}{2^{n}}\right) c_{n+1}-S\left( \tfrac{j}{2^{n}}\right) s_{n+1}$

Como $c_{n+1}>c_{n}$ y $s_{n+1}<s_{n}$ se sigue que

$\displaystyle C\left( \tfrac{k}{2^{n+1}}\right) >C\left( \tfrac{j}{2^{n}}\right... ... s_{n}=C\left( \tfrac{j+1}{2^{n}}\right) =C\left( \tfrac{k+1}{2^{n+1}}\right) .$

es par, se tiene

para algún

, y entonces

$\displaystyle C\left( \tfrac{k+1}{2^{n+1}}\right) =C\left( \tfrac{2j+1}{2^{n+1}... ...\left( \tfrac{j}{2^{n}}\right) s_{n+1}<C\left( \tfrac{j}{2^{n}}\right) c_{n+1}.$

Como $c_{n+1}<1$ se tiene

$\displaystyle C\left( \tfrac{k+1}{2^{n+1}}\right) <C\left( \tfrac{j}{2^{n}}\right)=C\left( \tfrac{k}{2^{n+1}}\right) .$

En ambos casos se obtiene la desigualdad deseada para la función

. Para

se procede de manera similar. Se ha demostrado que (10) se cumple para cada $n\in \mathbb{N}$ . Por el lema 4 se obtiene que

es decreciente estrictamente en cada $\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , mientras que

es estrictamente creciente en el mismo conjunto. En resumen:

Teorema 6 En $\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \cap \mathbb{D}$ la función es estrictamente decreciente, mientras que la función es estrictamente creciente. En particular se tiene y , para $x\in \mathbb{D}\cap \left] 0,\frac{1}{2}\right[$ .

Ahora recuerde que por el teorema 5 se tiene

$\displaystyle C\left( \tfrac{1}{2}+x\right) =-S\left( x\right) ,\quad S\left( \tfrac{1}{2}+x\right) =C\left( x\right) .$

Cuando

recorre $\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , $x+\frac{1}{2}$ recorre $\mathbb{D}\cap \left[ \frac{1}{2},1\right]$ . Como

decrece en $\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , se sigue que $S\left( x\right)$ lo hace en $\mathbb{D}\cap \left[ \frac{1}{2},1\right]$ . Por otro lado, como

crece en $\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , se sigue que $C\left( x\right)$ decrece en $\mathbb{D}\cap \left[ \frac{1}{2},1\right]$ . Las identidades

$\displaystyle S\left( 1+x\right) =-S\left( x\right) ,\quad C\left( 1+x\right) =-C\left(x\right)$

se pueden usar de la misma forma para deducir el comportamiento en el conjunto $\mathbb{D}\cap \left[ 1,2\right]$ . Finalmente, por ser estas funciones periódicas de período

, el comportamiento en todo $\mathbb{D}$ queda determinado por este teorema vía traslaciones. Por ejemplo, la función

es estrictamente creciente en $\mathbb{D}\cap \left[ 7,8\right]$ , dado que $C\left( x-6\right) =C\left( x\right)$ , y $x-6\in \mathbb{D}\cap \left[ 1,2\right]$ para $x\in \mathbb{D}\cap \left[ 7,8\right]$ .

Teorema 7 Para cada entero , la función es estrictam

ente decreciente en $\mathbb{D}\cap \left[ 2n,2n+1\right]$ y estrictamente creciente en $\mathbb{D}\cap \lbrack 2n-1,2n]$ . La función es estrictamente creciente en $\mathbb{D}\cap \left[ 2n-\frac{1}{2},2n+\frac{1}{2}\right]$ , y estrictamente decreciente en $\mathbb{D}\cap \left[ 2n+\frac{1}{2},2n+\frac{3}{2}\right]$ .