Intervalos de Monotonía de y en

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Intervalos de Monotonía de y en $\mathbb{R}$

Considere primero el intervalo $\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ . Si $0\leq x<y\leq \frac{1}{2}$ , tomemos sucesiones de diádicos $\left( \alpha _{n}\right)$ y $\left( \beta_{n}\right)$ , la primera decreciente a , la segunda creciente a . Sea $\rho =\frac{x+y}{2}$ . Como $\alpha_{n}\rightarrow x$ , existe $n_{0}$ tal que $\alpha _{n}<\rho$ para cada $n\geqslant n_{0}$ . De la misma manera, como $\beta _{n}\rightarrow y$ , existe $n_{1}$ tal que $\beta _{n}>\rho$ para cada $n\geqslant n_{1}$ . Luego, si $m=\max \left( n_{0},n_{1}\right)$ se tiene

$\displaystyle S\left( x\right) \leq S\left( \alpha _{m}\right) <S\left( \beta _{m}\right) \leq S\left( y\right) ,$

es decir $S\left( x\right) <S\left( y\right)$ . Lo mismo se puede hacer en cualquier intervalo

tal que

sea estrictamente monótona en $I\cap \mathbb{D}$ . Para la función

se procede de manera similar. El siguiente teorema resume los resultados de esta sección.

Teorema 16 Para cada entero se tiene:

es estrictamente creciente en $\left[ 2n-\frac{1}{2},2n+\frac{1}{2}\right]$ , y estrictamente decreciente en $\left[ 2n+\frac{1}{2},2n+\frac{3}{2}\right]$ .
es estrictamente decreciente en $\left[ 2n,2n+1\right]$ , y estrictamente creciente en $\left[ 2n-1,2n\right]$ .