Algunos límites

Inicio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Algunos límites

Lema 1 La sucesión $\left( c_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ definida recursivamente por (3), es creciente y converge a $1.\smallskip$

Prueba

Se demostrará por inducción que para cada $n\in \mathbb{N}$ se tiene : $c_{n}<c_{n+1}<1$ .

Para empezar se tiene $c_{1}=0<c_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1$ . El paso inductivo se sigue de las siguientes implicaciones:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} c_{n-1}<c_{n}<1 & \Rightarrow & \dfrac{1+... ..._{n}}{2}}<1 & \\ & \Rightarrow & c_{n}<c_{n+1}<1. & \end{array}\end{displaymath}$

Por el teorema de Weierstrass se sigue que $\left( c_{n}\right)$ es convergente, y denotando por

su límite se tiene:

$\displaystyle l=\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{\frac{1+c_{n}}{2}}=\sqrt{\frac{1+l}{2}}.$

Finalmente, resolviendo esta ecuación se obtiene

. Esto demuestra que efectivamente

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty }c_{n}=1.\;\Box$

Lo anterior calza con nuestra intuición ya que la medida de la apotema del polígono inscrito en un círculo de radio está siempre entre 0 y conforme se duplica la cantidad de lados, la apotema tiende a la medida del radio, que en este caso es $r=1.\medskip$

Nótese que $s_{n}=\sqrt{1-c_{n}^{2}}$ , y por lo tanto se obtiene como corolario el siguiente lema.

Lema 2 La sucesión $\left( s_{n}\right)$ es una sucesión decreciente, y converge a 0.