Continuidad secuencial

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Continuidad secuencial

Las desigualdades obtenidadas enunciadas en el teorema 10, nos inducen a una única manera de definir las funciones y en $\mathbb{R}$ . En efecto, primeramente si $x\in \mathbb{R}$ , y $\left( \omega_{n}\right)$ es una sucesión en $\mathbb{D}$ convergente a , entonces $\left( \omega_{n}\right)$ es una sucesión de Cauchy, es decir:

$\displaystyle \alpha _{n}=\sup_{m\geqslant n}\left\vert \omega _{n}-\omega _{m}\right\vert \rightarrow 0.$

Por la desigualdad dada en el teorema 10, se sigue que

$\displaystyle \sup_{m\geqslant n}\left\vert S\left( \omega _{n}\right) -S\left(... ... \sup_{m\geqslant n}\left\vert \omega _{n}-\omega_{m}\right\vert \rightarrow 0,$

así que la sucesión $\left( S\left( \omega _{n}\right) \right)$ es de Cauchy, y por lo tanto convergente en $\mathbb{R}.\medskip$

Por otro lado, si $\left( \tau _{n}\right)$ es otra sucesión de diádicos que converge a , entonces $\left( \tau _{n}-\omega _{n}\right)$ es una sucesión en $\mathbb{D}$ que converge a 0, y luego

$\displaystyle \left\vert S\left( \tau _{n}\right) -S\left( \omega _{n}\right) \right\vert \leq \pi \left\vert \tau _{n}-\omega _{n}\right\vert \rightarrow 0.$

Esto demuestra que

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }S\left( \tau _{n}\right) =\lim_{\infty }S\left(\omega _{n}\right) .$

Lo anterior demuestra que el valor del límite de la sucesión $S\left( \omega _{n}\right)$ , es independiente de la sucesión de diádicos que se escoja, siempre que esta converja a . Resumimos:

Teorema 11 Existe un número real $\lambda$ tal que, para toda sucesión $\left( \omega_{n}\right)$ de diádicos que converge a , se tiene que la sucesión $\left( S\left( \omega _{n}\right) \right)$ converge a $\lambda$ .

Por lo tanto tiene sentido definir

$\displaystyle S\left( x\right) :=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }S\left( \rho_{n}\right) ,$ para cualquier sucesión $\displaystyle \left( \rho _{n}\right)$ en $\displaystyle \mathbb{D}$ convergente a $\displaystyle x.$

Para $C\left( x\right)$ , se procede de manera similar, se obtiene que se debe definir

$\displaystyle C\left( x\right) :=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }C\left( \rho_{n}\right) ,$ para cualquier sucesión $\displaystyle \left( \rho _{n}\right)$ en $\displaystyle \mathbb{D}$ convergente a $\displaystyle x.$

Nótese que la definición de (y por ende la de ) es consistente con la definición que ya se tenía para $x\in \mathbb{D},$ puesto que en tal caso se puede tomar $\rho _{n}=x$ para todo $n.\medskip$

Nótese que la definición de (y similarmente la de ) es la única posible, si se quiere que esta función sea continua en $\mathbb{R}$ . En la siguiente sección, se demuestra que también es la única posible, si se quiere que sea creciente en $\left[ 0,\frac{1}{2}\right[$ .