Perímetro de los polígonos de Arquímedes

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Perímetro de los polígonos de Arquímedes

Para cada polígono (inscrito) de Arquímedes $H_{n}$ , se forma un polígono circunscrito $J_{n}$ que se obtiene al trazar las tangentes al círculo en cada vértice de $H_{n}$ . Estas tangentes se intersecan en ciertos puntos que forman los vértices de $J_{n}$ . El segmento que une cada vértice de $J_{n}$ con el centro, biseca al lado correspondiente de $H_{n}$ .

Considere un lado del polígono circunscrito, denotado por $\overline{PQ}.$ En la figura 5 se tiene que los triángulos y son semejantes, ya que sus ángulos correspondientes son congruentes.

Entonces

$\displaystyle AP=\frac{AP}{1}=\frac{AP}{AO}=\frac{EA}{EO}=\frac{s_{n}}{c_{n}},$

y entonces el lado del polígono $J_{n}$ mide $\dfrac{2s_{n}}{c_{n}}$ . El perímetro del polígono inscrito es

$\displaystyle P_{n}=2^{n}\cdot 2s_{n}=2\cdot 2^{n}s_{n}=2A_{n+1},$

mientras que el perímetro del polígono circunscrito es

$\displaystyle Q_{n}=2^{n}\cdot 2\frac{s_{n}}{c_{n}}=\frac{P_{n}}{c_{n}}=\frac{2A_{n+1}}{c_{n}}.$

Figura 5

Nótese que

$\displaystyle \frac{2Q_{n}P_{n}}{Q_{n}+P_{n}}=\frac{2Q_{n}P_{n}}{Q_{n}+Q_{n}c_{... ...2P_{n}}{1+c_{n}}=\frac{2A_{n+1}}{c_{n+1}^{2}}=\frac{2A_{n+2}}{c_{n+1}}=Q_{n+1},$

y similarmente

$\displaystyle \sqrt{Q_{n+1}\cdot P_{n}}=\sqrt{\dfrac{2A_{n+2}}{c_{n+1}}\cdot 2A_{n+1}}=2\sqrt{A_{n+2}\dfrac{A_{n+1}}{c_{n+1}}}=2A_{n+2}=P_{n+1}.$

Tomando $I_{2^{n}}=P_{n}$ , $C_{2^{n}}=Q_{n}$ , estas identidades son las obtenidas por Arquímedes (ver (1)).