Área del polígono de Arquímedes

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Área del polígono de Arquímedes

Utilizando la fórmula del área del polígono:

$\displaystyle A_{n}=$ semiperímetro $\displaystyle \cdot \emph{apotema,}$

se obtiene el área $A_{n}$ del polígono $H_{n}$ , dado que su semiperímetro es $2^{n}\cdot s_{n}$ y la apotema es $c_{n}$ ,

$\displaystyle A_{n}=2^{n}s_{n}c_{n}$

Utilizando la fórmula (6) se obtiene

$\displaystyle A_{n}=2^{n}s_{n}c_{n}=2^{n-1}s_{n-1},$

y de esto se deduce que

$\displaystyle A_{n+1}=2^{n}s_{n}=\frac{A_{n}}{c_{n}}$ .

(7)

Como $c_{n}<1$ , la identidad (7) demuestra que $A_{n}<A_{n+1}$ para cada $n\in \mathbb{N}$ . En otras palabras, la sucesión $\left(A_{n}\right)$ es estrictamente creciente.