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El método de exhausión
Este método consiste en considerar determinada magnitud de una figura, como el límite de las magnitudes correspondientes de figuras inscritas y circunscritas en ella, las cuales aproximan arbitrariamente la figura original.
Arquímedes establece que, por medio de este método, se logra descubrir las propiedades buscadas, demostrándolas rigurosamente por medio de la reducción al absurdo. Así, para demostrar que dos magnitudes
Este esquema de demostracción es el que Arquímedes utiliza para darle rigor a sus teoremas, y además respeta el principio de la geometría abstracta de que ningún problema del infinito puede ser reducido a lo finito. Se observa entonces como el método utilizado por Arquímedes supone la existencia del infinito, aunque sin mencionarlo directamente, alejándose de la investigación infitesimal. El párrafo del libro ``Arquímedes Protagonistas de la Civilización'' aclara la relación del concepto de infinito y el método de exhausión:
"..., los antiguos se valen solo para afirmar que se puede inscribir en el círculo un polígono cuya diferencia del propio círculo sea más pequeña que cualquiera otra magnitud establecida. Desde este punto en adelante el resto de la demostración se convierte en una reducción al absurdo de la tesis contraria, reducción que podría evitarse introducciendo precisamente el concepto de límite, pero no hubo modo de introducirlo, porque todavía contenía demasiados equívocos para los matemáticos de la época. Procedían estos de manera más rígida que los modernos, porque para cada caso se hacía necesaria una demostracción especial, lo que aumentaba en mucho la dificultad de sus investigaciones. El método de exhausión disminuye en parte esas dificultades, y tiene el mérito de haber legitimado los resultados de las primeras investigaciones infinitesimales cuando todavía era imperfecta la crítica de los conceptos fundamentales que las inspiraron.''
De esta forma, Arquímedes introduce los procedimientos que serán, varios siglos después, la base del cálculo diferencial. Como se mencionó en el apartado anterior, la metodología de investigación de Arquímedes consistía en dos fases, una fase intuitiva donde empleaba consideraciones mecánicas y su método intuitivo; y una fase rigurosa en la cual empleaba consideraciones de tipo infinitesimal y su método de exhausión. En su libro Del método relativo a los Teoremas mecánicos, explica los procedimientos a los que se ajustaba en la fase intuitiva y se lo envía a Eratósteles, docto de Alejandría, con el fin de hacerlo público. Este libro va acompañado con una carta, en la cual se señala la importancia de su método, pese a que no se cuenta con demostraciones verdaderas, y concluye la carta señalando:
Por otro lado, el método de exhausión le permitió a Arquímedes establecer la rigidez tradicional exigida por los griegos a sus descubrimientos intuitivos. Precisamente el método de exhausión no permite hallar nuevas verdades, es decir carece de valor heurístico, por lo que Arquímedes lo utilizaba para dar rigor a los resultados obtenidos por la vía intuitiva. Lastimosamente el libro Del método relativo a los Teoremas mecánicos, cae en el olvido por los griegos. Incluso en el renacimiento, los científicos más conocedores de la obra de Arquímedes, como Galileo, no conocián la existencia de ese libro. Para ellos, la metodología empleada por este tenía una vía secreta. Este libro se da a conocer hasta 1907, cuando el matemático Heiberg, luego de copiar y examinar el escrito original junto con otros textos de Arquímedes que halló en la Biblioteca del Monasterio del Santo Sepulcro en Jerusalem, ubicada en Constantinopla, anuncia su descubrimento bajo el título Un nuevo libro de Arquímedes.
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