Continuidad de y en

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Continuidad de y en $\mathbb{R}$

Utilizando las desigualdades e igualdades de la sección anterior se obtienen los siguientes límites.

Teorema 14 Las funciones y cumplen:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}S\left( x\right) =0,\quad \lim\limits... ...\right) =1,\quad \lim\limits_{s\rightarrow 0}\dfrac{S\left( x\right) }{x}=\pi .$

Prueba

Por el teorema anterior se tiene que

$\displaystyle -\pi \left\vert x\right\vert \leq S\left( x\right) \leq \pi \left\vert x\right\vert ,$

y al aplicar el teorema del encaje se obtiene el resultado.
Del teorema anterior, se sigue que

$\displaystyle \left\vert C\left( x\right) -1\right\vert =\left\vert C\left( x\right) -C\left( 0\right) \right\vert \leq \pi \left\vert x\right\vert ,$

y nuevamente por el teorema del encaje se obtiene que $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left\vert C\left( x\right) -1\right\vert =0$ .
Del teorema anterior se sabe que

$\displaystyle \pi \geqslant \dfrac{S\left( x\right) }{x}\geq \pi C\left( x\right) ,$

para $x\in \left] 0,\frac{1}{4}\right[$ . Como las funciones involucradas en esta desigualdad son pares, esta es válida también para $x\in \left[-\frac{1}{4},0\right[$ . Por el teorema del encaje se obtiene el resultado. $\Box \medskip$

Como $\left\vert S\left( x\right) -S\left( a\right) \right\vert \leq \pi \left\vert x-a\right\vert$ , para todo $a,x\in \mathbb{R}$ , entonces por el teorema del encaje se obtiene que

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\left\vert S\left( x\right) -S\left( a\right) \right\vert =0,$

es decir

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}S\left( x\right) =S\left( a\right) .$

De manera similar se obtiene

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}C\left( x\right) =C\left( a\right) .$

Lo anterior demuestra el siguiente teorema:

Teorema 15 Las funciones y son continuas en todo $\mathbb{R}$ .