Un poco de intuición

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Un poco de intuición

A continuación utilizaremos algunas de las fórmulas básicas de polígonos, con el fin de encontrar una manera de construir las funciones seno y coseno. $\medskip$

Consideremos un polígono regular de 2 $^{n}$ lados, inscrito en un círculo de radio . Este polígono se divide en $2^{n}$ triángulos, formados al trazar todos los radios a los vértices del polígono, y sus ángulos centrales miden $\frac{\pi }{2^{n-1}}$ radianes. En la figura 2 se muestra un lado $\overline{PQ}$ del polígono y el triángulo que forma.

Figura 2 Figura 3

Se observa que el triángulo es isósceles debido a que dos de sus lados son radios del círculo, por lo tanto al trazar la altura del triángulo que pasa por , esta biseca al $\angle POQ$ . Así se obtiene que $m\angle POR=\dfrac{\pi }{2^{n}}$ .

Además, se nota que

sen $\displaystyle \left( \dfrac{\pi }{2^{n}}\right) =\frac{PR}{PO}=PR,\qquad \cos \left( \dfrac{\pi }{2^{n}}\right) =\frac{RO}{PO}=RO$

Nótese que entonces, sen $\left( \frac{\pi }{2^{n}}\right)$ es la mitad de la medida del lado del polígono de $2^{n}$ lados, y $\cos \left( \frac{\pi }{2^{n}}\right)$ es la apotema del mismo polígono. Esta es la base intuitiva de la construcción que desarrollaremos. $\medskip$

En adelante denotaremos con $H_{n}$ a un polígono de Arquímedes de $2^{n}$ lados, inscrito en un círculo de radio . La medida de sus lados se denota por $a_{n}$ , su apotema por $c_{n}$ , y se define $s_{n}$ como la mitad de la medida de su lado, es decir $s_{n}=\dfrac{a_{n}}{2}$ . Note que el semiperímetro es $2^{n}s_{n}$ .

En la figura 3 se muestra uno de los lados del polígono $H_{n}$ y su relación con uno de los lados del polígono $H_{n+1}$ .

Como el triángulo es isósceles, entonces $PR=RQ=s_{n}$ . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo se obtiene

$\displaystyle s_{n}^{2}+c_{n}^{2}=1,$

de donde se obtienen las identidades:

$\displaystyle c_{n}=\sqrt{1-s_{n}^{2}},\qquad s_{n}=\sqrt{1-c_{n}^{2}}.$

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