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Propiedades de las funciones $ S$ y $ C$ en $ \mathbb{D}$

La definición de $ S$ y $ C$ en $ \mathbb{D}^{-}$ dada en la sección anterior, es necesaria si queremos que se cumpla el teorema 3 para todo $ x,y\in \mathbb{D}$. Sin embargo, debemos demostrar que es suficiente. Por ejemplo, si $ x\in \mathbb{D}^{+}$, $ y\in \mathbb{D}^{-}$ se sigue que $ -y\in \mathbb{D}^{+}$. Consideramos dos casos:

  • Si $ x\geqslant -y$ entonces

    $\displaystyle C\left( x+y\right) =C\left( x-\left( -y\right) \right) =C\left( x... ...\right) =C\left( x\right) C\left( y\right) -S\left( x\right) S\left( y\right) ,$    

    donde hemos usado la propiedad 3 del teorema 3.

  • Si $ x<-y$ tenemos

    $\displaystyle C\left( x+y\right) =C\left( -y-x\right) =C\left( -y\right) C\left... ...x\right) =C\left( x\right) C\left( y\right)-S\left( x\right) S\left( y\right) .$    

Para $ S$ se procede de manera similar, y el caso en que ambos $ x,y$ son negativos es más sencillo.

Teorema 4   Las funciones $ C$ y $ S$ que acabamos de definir en $ \mathbb{D}$ satisfacen:

  1. Para cada $ x\in \mathbb{D}$ : $ C^{2}(x)+S^{2}(x)=1$

  2. Para $ x,y\in \mathbb{D}$ : $ C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y),\quad S(x+y)=S(x)C(y)+S(y)C(x)$.

Corolario 2   Para $ x,y\in \mathbb{D}$ se tiene

$\displaystyle C\left( 2x\right) =C^{2}\left( x\right) -S^{2}\left( x\right) ,\quad S\left(2x\right) =2S\left( x\right) C\left( x\right) .$    

Nótese que en particular

$\displaystyle C\left( 1\right) =C^{2}\left( \tfrac{1}{2}\right) -S^{2}\left( \t... ... S\left( 1\right) =2S\left( \tfrac{1}{2}\right) C\left( \tfrac{1}{2}\right) =0.$    

A continuación se demuestran algunas propiedades que el lector posiblemente conoce de su intuición geométrica.

Teorema 5   Para $ x,y\in \mathbb{D}$ se tiene:

  1. $ C\left( \tfrac{1}{2}+x\right) =-S\left( x\right) ,\quad S\left( \tfrac{1}{2}+x\right) =C\left( x\right) $,

  2. $ C\left( \tfrac{1}{2}-x\right) =S(x),\quad S\left( \tfrac{1}{2}-x\right) =C\left( x\right) $,

  3. $ C\left( x+1\right) =-C\left( x\right) ,\quad S\left( x+1\right)=-S\left( x\right) $,

  4. Las funciones $ C$ y $ S$ son periódicas de período $ 2$ en el conjunto $ \mathbb{D}$.

Prueba

Las partes 1, 2 y 3 son consecuencias directas del teorema anterior. Para demostrar 4 usamos 3:

$\displaystyle C\left( x+2\right) =C\left( \left( x+1\right) +1\right) =-C\left( x+1\right)=C\left( x\right) ,$    


y similarmente con la función $ S$. $ \Box $

 

 

 

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