Densidad de los Diádicos

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Densidad de los Diádicos

Es conocido que dado un entero $b\geq 2$ , para todo número real positivo existe una expansión de en base , de la forma $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots$ , donde $a_{0}=[\![x]\!]$ , y para $n\geq 1$ se tiene que $a_{n}\in \{0,1,\ldots ,b-1\}$ , esto es:

$\displaystyle x=a_{0}+\dfrac{a_{1}}{b}+\dfrac{a_{2}}{b^{2}}+\ldots .$

Más precisamente se tiene, para cada $n\in \mathbb{N}:$

$\displaystyle a_{0}+\dfrac{a_{1}}{b}+\ldots +\dfrac{a_{n}}{b^{n}}\leq x<a_{0}+\dfrac{a_{1}}{b}+\ldots +\dfrac{a_{n}}{b^{n}}+\dfrac{1}{b^{n}}.$

En lo que sigue se tomará

. En tal caso se habla de expansiones binarias. Además, para cada $n\geq 1$ se tiene $a_{n}\in \{0,1\}.\medskip$ Para detalles sobre este tema, consultar [4].

Dado , con expansión binaria $a_{0},a_{1},a_{2},...$ , se definen las sucesiones $(\rho _{n})$ y $\left( \sigma _{n}\right)$ así:

$\displaystyle \rho _{n}=a_{0}+\dfrac{a_{1}}{2}+\ldots +\dfrac{a_{n}}{2^{n}},\qquad \sigma_{n}=\rho _{n}+\dfrac{1}{2^{n}}.$

Por lo anterior, para cada $n\in \mathbb{N}$ se tiene:

$\displaystyle \rho _{n}\leq x<\sigma _{n}.$

$\smallskip$

Note que $(\rho _{n})$ es creciente, dado que $a_{n}\geq 0$ para cada , y además $\left( \rho _{n}\right)$ converge a . $\medskip$

De igual forma, la sucesión $\left( \sigma _{n}\right)$ resulta decreciente, debido a que

$\displaystyle \sigma _{n+1}=\rho _{n+1}+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\rho _{n}+\dfrac{a_{... ...^{n+1}}\leq \rho _{n}+\dfrac{2}{2^{n+1}}=\sigma _{n},\ \forall n\in \mathbb{N}.$

También es claro que $\left( \sigma _{n}\right)$ converge a . $\medskip$

$\bigskip$ Se define el conjunto de los Diádicos como

$\displaystyle \mathbb{D=}\left\{ \dfrac{k}{2^{n}}:n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z}\right\} .$

Cada $\rho _{n}$ pertenece al conjunto $\mathbb{D}$ . En efecto, $\rho_{n}=a_{0}+\dfrac{a_{1}}{2}+\ldots +\dfrac{a_{n}}{2^{n}}=\dfrac{k}{2^{n}}$ , donde

$\displaystyle k=a_{0}2^{n}+a_{1}2^{n-1}+\ldots +a_{n-1}2+a_{n.}$

Eso demuestra que todo $x\geq 0$ se puede aproximar arbitrariamente por elementos del conjunto $\mathbb{D}$ . $\medskip$

Mejor aún, existen sucesiones $\left( \rho _{n}\right)$ y $\left( \sigma _{n}\right)$ , cuyos elementos pertenecen todos a $\mathbb{D}$ , la primera creciente y la segunda decreciente, tales que $\rho _{n}\rightarrow x$ y $\sigma _{n}=\rho _{n}+\dfrac{1}{2^{n}}\rightarrow x$ . Si , se puede aplicar lo anterior a , para obtener el mismo resultado. Lo anterior se resume en el siguiente teorema.

Teorema 1 El conjunto $\mathbb{D}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Más precisamente, para todo $x\in \mathbb{R}$ existen dos sucesiones de diádicos $\left( \rho _{n}\right)$ y $\left( \sigma _{n}\right)$ , la primera creciente y la segunda decreciente, tales que $\rho _{n}\leq x\leq \sigma_{n}$ , para cada , y

$\displaystyle x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\rho _{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma _{n}.$