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Intervalos de Concavidad de $ S$ y $ C$ en $ \mathbb{R}$

A continuación se determinarán las derivadas de las funciones $ C$ y $ S$. Para la función $ S$ se tiene que

$\displaystyle S^{\prime }\left( x\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{S\... ...ac{C\left( h\right) -1}{h}+C\left( x\right) \frac{S\left(h\right) }{h}\right] .$    

Por el teorema $ 14$ se tiene que $ \lim\limits_{h\longrightarrow 0}\dfrac{S\left( h\right) }{h}=\pi $ y $ \lim\limits_{h\longrightarrow 0}\dfrac{C\left( h\right) -1}{h}=0$, y entonces $ S$ es derivable, y

$\displaystyle S^{\prime }\left( x\right) =\pi C\left( x\right) .$    

Similarmente se obtiene que

$\displaystyle C^{\prime }\left( x\right) =-\pi S\left( x\right) .$    

Debido a que se conoce los intervalos de monotomía de $ S$ y $ C$ y sus derivadas estan relacionacionadas con ellas mismas, se pueden obtener los intervalos de concavidad de $ S$ y $ C$. En efecto, por ejemplo en $ \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$, la función $ S$ es estrictamente creciente y la función $ C$ es estrictamente decreciente, entonces $ S^{\prime }$ y $ C^{\prime }$ son ambas estrictamente decrecientes, y por lo tanto ambas gráficas de $ S$ y $ C$ son cóncavas hacia abajo en el intervalo $ \left[2n,\frac{1}{2}+2n\right] $, por ser periódicas. El siguiente teorema resume los otros casos que el lector puede comprobar.

Teorema 17   Para cada entero $ n$ se tiene:

  1. La gráfica de $ S$ es convexa (cóncava hacia arriba) en $ [2n-1,2n]$, y cóncava (hacia abajo) en $ \left[ 2n,2n+1\right] $.

  2. La gráfica de $ C$ es convexa (cóncava hacia arriba) en $ [2n+\frac{1}{2},2n+\frac{3}{2}]$, y cóncava (hacia abajo) en $ [2n-\frac{1}{2},2n+\frac{1}{2}]$.

 

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