El paso a

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El paso a $\mathbb{R}$

Comenzamos restringiéndonos al intervalo $\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ . Como hemos demostrado, en el conjunto $\mathbb{D}\cap \left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ la función es estrictamente creciente. Considere $x\in \left] 0,\frac{1}{2}\right[$ y consideremos las sucesiones $\left( \rho _{n}\right)$ y $\left( \sigma _{n}\right)$ dadas por el teorema 1. La primera de estas es creciente y la segunda decreciente, y ambas convergen a . En particular se tiene

$\displaystyle \rho _{n}\leq \rho _{n+1}\leq x\leq \sigma _{n+1}\leq \sigma _{n},$

para cada $n\in \mathbb{N}$ . Como $0<x<\frac{1}{2}$ , y ambas sucesiones convergen a

, existe $n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $0<\rho _{n}<\sigma_{n}<\frac{1}{2}$ , para $n>n_{0}$ .

Como la función es estrictamente creciente en $\mathbb{D\cap }\left[0,\frac{1}{2}\right]$ , se sigue que

$\displaystyle 0=S\left( 0\right) <S\left( \rho _{n}\right) \leq S\left( \rho _{... ...gma _{n+1}\right) \leq S\left( \sigma _{n}\right) <S\left( \frac{1}{2}\right) .$

(13)

Lo anterior demuestra que la sucesión $\left( S\left( \rho _{n}\right)\right)$ es creciente y $\left( S\left( \sigma _{n}\right) \right)$ es decreciente, y que ambas son acotadas. Por el teorema de Weierstrass se sigue que estas sucesiones son convergentes.

Ahora, dado que $\sigma _{n}=\rho _{n}+\frac{1}{2^{n}}$ se tiene:

$\displaystyle \left\vert S\left( \sigma _{n}\right) -S\left( \rho _{n}\right) \right\vert \leq \frac{\pi }{2^{n}}\rightarrow 0.$

Ahora, como $c_{n}\rightarrow 1$ , se ha demostrado entonces que:

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty }S\left( \sigma _{n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }S\left( \rho _{n}\right) .$

(14)

Se quiere definir $S\left( r\right)$ ,de manera que sea creciente en $\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ . Para que esto ocurra debe tenerse:

$\displaystyle S\left( \rho _{n}\right) \leq S\left( x\right) \leq S\left( \sigma_{n}\right) ,$

y entonces la única definición posible para $S\left( x\right)$ es:

$\displaystyle S\left( x\right) :=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }S\left( \rho_{n}\right) .$

Con la función se puede hacer un análisis similar, con la diferencia que ahora la sucesión $\left( C\left( \rho _{n}\right) \right)$ resulta decreciente y $\left( C\left( \sigma _{n}\right) \right)$ creciente. Alternativamente, dado que $C\left( r\right) =\sqrt{1-S^{2}\left( r\right) }$ para $r\in \mathbb{D\cap }\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ , se puede definir

$\displaystyle C\left( x\right) =\sqrt{1-S^{2}\left( x\right) }=\lim\limits_{n\r... ...ty }C\left( \rho _{n}\right) ,\quad \forall x\in \left[ 0,\frac{1}{2} \right] .$