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Las funciones Seno y Coseno

La función seno se define de la siguiente manera

sen$\displaystyle :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$   sen$\displaystyle x=S\left( \dfrac{x}{\pi }\right) .$    

Se define la función coseno como

$\displaystyle \cos :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\quad \cos x=C\left( \dfrac{x}{\pi }\right) .$    

Ambas, funciones cumplen las siguientes propiedades

Teorema 18   Para $ x,y\in \mathbb{R}$ se tiene:

  1. Identidad pitagórica: $ \;\cos ^{2}x+$sen$ ^{2}x=1$.

  2. $ \cos (x+y)=\cos x\cos y-$sen$ x$sen$ y,$   sen$ (x+y)=$sen$ x$sen$ y+$sen$ y\cos x$.

  3. $ \cos \left( \tfrac{\pi }{2}+x\right) =-$sen$ x,$   sen$ \left( \tfrac{\pi }{2}+x\right) =C\left( x\right) $,

  4. $ \cos \left( \tfrac{\pi }{2}-x\right) =$sen$ x,$   sen$ \left( \tfrac{\pi }{2}-x\right) =\cos x$.

  5. $ \cos \left( x+\pi \right) =-\cos x,$   sen$ \left( x+\pi \right) =-$sen$ x$,

  6. Las funciones seno y coseno son periódicas de período $ 2\pi $.

  7. Ambas funciones son continuas, y además cumplen

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mbox{sen}x}{x}=1,\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0.$    

  8. Las funciones seno y coseno son derivables, y además

    $\displaystyle \frac{d}{dx}$sen$\displaystyle x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-$sen$\displaystyle x.$    

Prueba

La prueba de estos puntos es una consecuencia directa de las propiedades de las funciones $ S$ y $ C$, y queda como ejercicio para el lector. $ \medskip\medskip$

Note que las gráficas de las funciones seno y coseno son dilataciones, en el eje $ x$, de las de las funciones $ S$ y $ C$ respectivamente. A continuación se presentan las gráficas de estas funciones.

Gráfica de la función seno

   

Gráfica de la función coseno

   

Tomando como base el método de exhausión de Arquímedes y haciendo uso de elementos del análisis, se ha logrado construir las Funciones Trigonométricas seno y coseno, y a la vez se ha demostrado una serie de propiedades de estas funciones, concluyendo con su graficación. Esperamos que estas notas sean de utilidad para el lector, en cuanto al análisis y aplicación de la teoría de funciones trigonométricas.

 

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