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Identidades de $ S$ y $ C$ en $ \mathbb{R}$

Finalmente, se demostrarán las propiedades de las funciones $ C$ y $ S$ en $ \mathbb{R}$

Teorema 12   Para $ x,y\in \mathbb{R}$ se tiene:

  1. $ C^{2}(x)+S^{2}(x)=1$.

  2. $ C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y),\quad S(x+y)=S(x)C(y)+S(y)C(x)$.

  3. $ C\left( \tfrac{1}{2}+x\right) =-S\left( x\right) ,\quad S\left( \tfrac{1}{2}+x\right) =C\left( x\right) $,

  4. $ C\left( \tfrac{1}{2}-x\right) =S(x),\quad S\left( \tfrac{1}{2}-x\right) =C\left( x\right) $.

  5. $ C\left( x+1\right) =-C\left( x\right) ,\quad S\left( x+1\right)=-S\left( x\right) $,

  6. Las funciones $ C$ y $ S$ son periódicas de período $ 2$.

  7. $ S\left( x\right) -S\left( y\right) =2C\left( \dfrac{x+y}{2}\right) S\left( \df... ...C\left( y\right) =2S\left( \dfrac{x+y}{2}\right) S\left( \dfrac{y-x}{2}\right) $.

Prueba

  1. Sea $ \left( \alpha _{n}\right) $ una sucesión en $ \mathbb{D}$ convergente a $ x$, por definición $ S\left( x\right)=\lim\limits_{n\longrightarrow \infty }S\left( \alpha _{n}\right) $ y $ C\left( x\right) =\lim\limits_{n\longrightarrow \infty }C\left( \alpha_{n}\right) $, por lo tanto

    $\displaystyle C^{2}(x)+S^{2}(x)=\lim\limits_{n\longrightarrow \infty }\left[ S^{2}\left( \alpha _{n}\right) +C^{2}\left( \alpha _{n}\right) \right] =1.$    

  2. Considere dos sucesiones $ \left( \alpha _{n}\right) $ y $ \left( \beta_{n}\right) $ en $ \mathbb{D}$, que convergen a $ x$ y $ y$ respectivamente, entonces $ \left( \alpha _{n}+\beta _{n}\right) $ converge a $ x+y$, y por definición se tiene que

    $\displaystyle C(x+y)=\lim_{n\rightarrow \infty }C\left( \alpha _{n}+\beta _{n}\right) .$    

    Además, como $ \alpha _{n},\beta _{n}\in $ $ \mathbb{D}$ se tiene

    $\displaystyle C\left( \alpha _{n}+\beta _{n}\right) =C(\alpha _{n})C(\beta _{n})-S(\alpha_{n})S(\beta _{n}),$    

    y entonces

    $\displaystyle C(x+y)=\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ C(\alpha _{n})C(\beta_{n})-S(\alpha _{n})S(\beta _{n})\right] =C(x)C(y)-S(x)S(y).$    

    Similarmente se procede para $ S\left( x+y\right) $.

    Las demás propiedades son consecuencia de la propiedad 2, y de que la nueva definición de $ S$ y $ C$ es consistente con la anterior. $ \Box $

 

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